Question

如图1，直线l：y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y=x²+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A₁的横坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）p=﹣（t﹣2）2+，当t=2时，p有最大值．（3）“落点”的个数有4个，点A1坐标为（，0）或（）．

【解析】

试题分析：(1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1在x轴上，B1O1∥y轴，根据B1纵坐标为1，求出B1横坐标即可解决问题．

试题解析：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），

∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y=x﹣1，

∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），

∴n=×4﹣1=2，

∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；

（2）令y=0，则x﹣1=0，

解得x=，

∴点A的坐标为（，0），

∴OA=，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB==，

∵DE∥y轴，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，

DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，

∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），

∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），

∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，

∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，

∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，

∴当t=2时，p有最大值．

（3）“落点”的个数有4个，如图1，图2，图3，图4所示．

如图3，图4中，B1O1=BO=1，则x2﹣x﹣1=1，解得x=，

∵A1O1=，

∴图3中，OA1=OO1+A1O1═，图4中OA1═OO1+O1A1=

∴点A1坐标为（，0）或（）．

考点：二次函数综合题．