Question

如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=，点P为射线BD，CE的交点.

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值.

Answer

(1)详见解析；（2）①或；②PB长的最小值是，最大值是.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件易证△ADB≌△AEC，即可得BD=CE；（2）①分当点E在AB上和当点E在BA延长线上两种情况求PB的长；

试题解析：(1)证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=，

∴AB=AC，AD=AE.

∠DAB=.

∴△ADB≌△AEC.

∴BD=CE.

(2)解：①第一种情况：当点E在AB上时，BE=AB-AE=1.

∵∠EAC=，

∴CE=.

同(1)可证△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB ∽△AEC .

∴. ∴.

∴.

第二种情况：当点E在BA延长线上时，BE=3.

∵∠EAC=，

∴ CE=.

同(1)可证△ADB≌△AEC.

∴∠DBA=∠ECA.

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB ∽△AEC .

∴. ∴.

∴.

综上，或.

②PB长的最小值是，最大值是.

考点：三角形的综合题.