Question

如图，顶点为M的抛物线分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．

（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）△BCM是直角三角形；（3）N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）．

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；

（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．

试题解析：（1）∵抛物线与y轴相交于点C（0，﹣3），∴﹣3=a﹣4，∴a=1，∴抛物线解析式为，即；

（2）△BCM是直角三角形．理由：

由（1）有，抛物线解析式为，∵顶点为M的抛物线，∴M（﹣1，﹣4），由（1）抛物线解析式为，令y=0，∴，∴=﹣3，=1，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴=9+9=18，=1+1=2，=4+14=20，∴，∴△BCM是直角三角形；

（3）存在．∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，分两种情况讨论：

①点N在x轴上方的抛物线上，如图，由（2）有△BCM是直角三角形，=18，=2，∴BC=，CM=，∴S△BCM=BC×CM==3，设N（m，n），∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，∴S△ABN=S△BCM=3，∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，∴n=，∵N在抛物线解析式为的图象上，∴，∴m1=，m2=，∴N（，）或N（，）；

②如图2，点N在x轴下方的抛物线上，∵点C在对称轴的右侧，∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，设MN的解析式为y=﹣x+b，∵抛物线解析式为①，∴M（﹣1，﹣4），∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，联立①②得：，解得：（舍），，∴N（﹣2，﹣3）．

综上所述：N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）．

考点：二次函数综合题；探究型；存在型；分类讨论；压轴题．