Question

有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润（万元）与投资成本x（万元）满足如图①所示的二次函数；种植柏树的利润（万元）与投资成本x（万元）满足如图②所示的正比例函数=kx．

（1）分别求出利润（万元）和利润（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；

（2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？

Answer

（1），；（2）苗圃至少获得4万元利润，最多能获得8万元利润．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求两个函数的解析式；

（2）根据总投资成本为10万元，设种植桃树的投资成本x万元，总利润为W万元，则种植柏树的投资成本（10﹣x）万元，列函数关系式，发现是二次函数，画出函数图象，找出当2≤x≤8时的最小利润和最大利润．

试题解析：（1）把（4，1）代入中得：

16a=1，a=，∴．

把（2，1）代入=kx中得：

2k=1，k=，∴；

（2）设种植桃树的投资成本x万元，总利润为W万元，则种植柏树的投资成本（10﹣x）万元，则W===，由图象得：当2≤x≤8时，当x=4时，W有最小值，W小=4，当x=8时，W有最大值，W大=（8﹣4）2+4=5．

答：苗圃至少获得4万元利润，最多能获得8万元利润．

考点：二次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．