Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F．

（1）求∠ABE的大小及的长度；

（2）在BE的延长线上取一点G，使得上的一个动点P到点G的最短距离为，求BG的长．

Answer

（1）45°，；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）连接AE，如图1，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用圆弧长公式就可求出的长度；

（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG==AB，根据等腰三角形的性质可得BE=EG，只需运用勾股定理求出BE，就可求出BG的长．

试题解析：（1）连接AE，如图1，∵AD为半径的圆与BC相切于点E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．

在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=45°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的长度为=；

（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG==，∴AG=AB．∵AE⊥BG，∴BE=EG．∵BE===2，∴EG=2，∴BG=4．

考点：切线的性质；弧长的计算；动点型；最值问题．