Question

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．

（1）求证：AP⊥BQ；

（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；

（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）MQ=；（3）AM=．

【解析】

试题分析：（1）证明△ABP≌△BCQ，则∠BAP=∠CBQ，从而证明∠CBQ+∠APB=90°，进而得证；

（2）设MQ=MB=x，则MN=x﹣2．在直角△MBN中，利用勾股定理即可列方程求解；

（3）设AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN=（y+m+n）﹣m=y+n，利用勾股定理即可求解．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，在△ABP和△BCQ中，∵AB=BC，∠ABC=∠C，BP=CQ，∴△ABP≌△BCQ，∴∠BAP=∠CBQ．

∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠CBQ+∠APB=90°，∴∠BEP=90°，∴AP⊥BQ；

（2）【解析】
∵正方形ABCD中，AB=3，BP=2CP，∴BP=2，由（1）可得NQ=CQ=BP=2，NB=3．

又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，∴MQ=MB．

设MQ=MB=x，则MN=x﹣2．

在直角△MBN中，，即，解得：x=，即MQ=；

（3）∵BP=m，CP=n，由（1）（2）得MQ=BM，CQ=QN=BP=m，设AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN=（y+m+n）﹣m=y+n，，即，则y=，AM=．

考点：四边形综合题；翻折变换（折叠问题）．