Question

如图，△ABC中，AB=AC，作以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E、F．

（1）求证：EF⊥AC；

（2）若BF=2，CE=1.2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明参见解析；（2）3.

【解析】试题分析：（1）连接OD，AD，由切线的性质可得OD⊥EF，再利用圆周角定理证明AD⊥BC，根据等腰三角形的性质可证明OD∥AC，由平行线的性质即可得到EF⊥AC；（2）设⊙O的半径为x，由OD∥AC，可得：△ODF∽△AEF，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的比例式，求出x的值即可．

试题解析：（1）如图：连接OD，AD，

∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=DC．∴OD∥AC．∴AC⊥EF；（2）先设⊙O的半径为x．∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF．∴，∵BF=2，CE=1.2，∴AE=AC-CE=AB-CE=2x-1.2,OF=OB+BF=x+2,AF=AB+BF=2x+2,所以．解得：x=3．∴⊙O的半径为3．

考点：1.切线的性质定理；2.圆周角定理；3.等腰三角形的性质；4.平行线的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质.