Question

如图，抛物线y=x²+3与x轴交于点A，点B，与直线y=x+b相交于点B，点C，直线y=x+b与y轴交于点E．

（1）写出直线BC的解析式．

（2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

Answer

（1）BC的解析式为y=x+；

（2）×4×=

（3）当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．

【解析】

试题分析：（1）令y=0代入y=-x2+3求出点A，B的坐标．把B点坐标代入y=-x+b求出BC的解析式．

（2）联立方程组求出B．C的坐标．求出AB，CD的长后可求出三角形ABC的面积．

（3）过N点作NP⊥MB，证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．

试题解析：（1）在y=-x2+3中，令y=0，∴-x2+3=0，∴x1=2，x2=﹣2

∴A（﹣2，0），B（2，0），又点B在y=-x+b上，∴0=-+b，b=

∴BC的解析式为y=-x+．由，得，．

∴C(-1，)，B（2，0），∴AB=4，CD=，

∴×4×=．过点N作NP⊥MB于点P，∵EO⊥MB，∴NP∥EO

∴△BNP∽△BEO，∴．由直线y=-x+可得：E(0,)

∴在△BEO中，BO=2，EO=，则BE=，∴，∴NP=t，∴S=.t．（4﹣t）=﹣t2+t（0＜t＜4）=﹣（t﹣2）2+

∵此抛物线开口向下，

∴当t=2时，S最大=，∴当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．

考点：二次函数综合题．