Question

如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．

Answer

（1）见解析；

（2）2．

【解析】

试题分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；

（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．

试题解析：（1）连接OT，

∵OA=OT，

∴∠OAT=∠OTA，

又∵AT平分∠BAD，

∴∠DAT=∠OAT，

∴∠DAT=∠OTA，

∴OT∥AC，

又∵CT⊥AC，

∴CT⊥OT，

∴CT为⊙O的切线；

（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，

又∵CT⊥AC，

∴OE∥CT，

∴四边形OTCE为矩形，

∵CT=，∴OE=，

又∵OA=2，

∴在Rt△OAE中，AE=1．∴AD=2AE=2．

考点：切线的判定以及性质．