Question

探究：如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁、l₂交于点C和D，直线l₃有一点P，

（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由．

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并说明理由．

Answer

（1）∠APB=∠PAC+∠PBD，理由见解析；（2）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB；当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB.理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）过点P作PE∥l1根据l1∥l2得出PE∥l2∥l1,从而得出∠PAC=∠1,∠PBD=∠2，然后得出答案；（2）分点P在C、D两点的外侧运动，在l1上方和在l2下方时两种情况，分别根据（1）的方法得出答案.

试题解析：（1）当点P在C、D之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：

过点P作PE∥l1,

∵l1∥l2,

∴PE∥l2∥l1,

∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）ⅰ）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：

∵l1∥l2,

∴∠PEC=∠PBD,

∵∠PEC=∠PAC+∠APB,

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

ⅱ）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：

∵l1∥l2,

∴∠PED=∠PAC,

∵∠PED=∠PBD+∠APB,

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

考点：平行线的性质