Question

如图，二次函数（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．若以BD为直径的⊙M经过点C．

（1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）⊙M上是否存在点E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）C的坐标为（0，﹣3a），D的坐标为（1，﹣4a）；（2）；（3）（4，1）、（，）．

【解析】

试题分析：（1）计算横坐标为0的函数值即可得到C点坐标，然后将解析式配成顶点式即可得出点D的坐标；

（2）先利用二次函数与x轴的交点问题确定A点和B点坐标，再根据圆周角定理得到∠BCD=90°，则根据两点间的距离公式表示出BC，CD，BD，接着利用勾股定理建立方程，然后解方程求出a即可得到二次函数解析式；

（3）先计算出，，再根据圆周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，则CD=BE，接着证明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，设E（x，y），根据两点间的距离公式得，，然后解方程组得x=4，y=1或x=，y=，从而可得满足条件的E点坐标．

试题解析：（1）当x=0时，=﹣3a，则点C的坐标为（0，﹣3a）；

∵=，∴点D的坐标为（1，﹣4a）；

（2）当y=0时，，解得，，则A（﹣1，0），B（3，0），∵BD为⊙M的直径，∴∠BCD=90°，而=，==，==，在Rt△BCD中，∵，∴，整理得，解得a=﹣1或a=1（舍去）；∴抛物线解析式为：；

（3）存在．a=1，，，∵∠EDB=∠CBD，∴CD=BE，而BD为直径，∴∠BED=90°，∴Rt△BED≌Rt△DCB，∴DE=BC，设E（x，y），∴=，=，∴，，解得x=4，y=1或x=，y=，∴满足条件的E点坐标为（4，1）、（，）．

考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．综合题．