Question

已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．

（1）求证：△BCQ≌△ODQ；

（2）求点P的坐标；

（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）P的坐标是（5，0）；（3）S=．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形性质得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根据全等三角形的判定推出即可；

（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出，求出OQ=，DQ=，得出Q的坐标是（0，），求出直线BD的解析式，即可得出答案；

（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．

试题解析：（1）∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，在△BCQ和△ODQ中，∵∠BCQ=∠ODQ，∠CQB=∠DQO，BC=OD，∴△BCQ≌△ODQ；

（2）∵△BCQ≌△ODQ，∴CQ=DQ，在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：，则，解得：OQ=，DQ=，即Q的坐标是（0，），∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，∴B的坐标是（﹣3，6），设直线BD的解析式是，把B的坐标代入得：k=，即直线BD的解析式是，把y=0代入得：，解得：x=5，即P的坐标是（5，0）；

（3）过D作DM⊥OP于M，如图1，∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，∴∠QOD=∠MDO，∴△QDO∽△OMD，∴，∴，即得：OM=，DM=，OG=x，x≤3，分为两种情况：

①如图2，当0≤x≤时，∵DM=，OM=，OG=x，CG∥DM，∴△ONG∽△ODM，∴，NG=，∴S=×OG×GN=，S=；

②如图3，当＜x≤3时，在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD==4，∵DM=，OM=，∴PM=5﹣=，∵OG=x，CG∥DM，∴△PGN∽△PMD，∴，∴NG=，∴S=S△ADP﹣S△PGN=，S=，即S和x的函数关系式是S=（）和S=（），∴S=．

考点：1．四边形综合题；2．分类讨论；3．分段函数．