Question

小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

Answer

（1（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．

【解析】

试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；

（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；

（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．

试题解析：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=，即（20≤x≤32）；

（2）对于函数的图象的对称轴是直线x==35．

又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，∴当x=32时，W=2160

答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．

（3）取W=2000得，

解这个方程得：=30，=40．

∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．

∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．

设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000

∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．

答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．

考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．