Question

如图，（n+1）个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_（n+1）D_nC_n的面积为S_n，则S_n=____（用含n的式子表示）．

Answer

．

【解析】

试题分析：由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1==；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2===；

作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…Bn在一条直线上．

∵Bn Cn∥AB，∴=，∴BnDn=•AB=，则DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．

△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．

△Bn+1DnCn面积为Sn===．

即第n个图形的面积Sn=．故答案为：．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．压轴题；4．规律型．