Question

如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的值最小，求此时P点坐标及△APC周长；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（直接写出结果）

Answer

（1）；（2）P（2，1），；（3）（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．

【解析】

试题分析：（1）由AB=2，抛物线的对称轴为x=2，得知抛物线与x轴交点为（1，0）、（3，0），即1、3为方程的两个根，结合跟与系数的关系可求得b、c；

（2）由抛物线的对称性，可得出PA+PC最短时，P点为线段BC与对称轴的交点，由此可得出结论；

（3）平行四边形分两种情况，一种AB为对角线，由平行四边形对角线的性质可求出D点坐标；另一种，AB为一条边，根据对比相等，亦能求出D点的坐标．

试题解析：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），∵抛物线与x轴交于点A，B，∴1，3是方程的两个根，由根与系数的关系，得1+3=﹣b，1×3=c，∴b=﹣4，c=3，∴抛物线的函数表达式为；

（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，由（1）知抛物线的函数表达式为，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），∴点C的坐标为（0，3），∴BC==，AC==．∵点A，B关于对称轴直线x=2对称，∴PA=PB，∴PA+PC=PB+PC，此时，PB+PC=BC，∴当点P在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=；设过B（3，0），C（0，3）的直线为，则：，解得：，∴直线BC为：，联立：，得到：，∴P（2，1）；

（3）以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形分两种情况，①线段AB为对角线，如图2，

∵平行四边对角线互相平分，∴DE在对称轴上，此时D点为抛物线的顶点，将x=2代入中，得y=﹣1，即点D坐标为（2，﹣1）．

②线段AB为边，如图3，∵四边形ABDE为平行四边形，∴ED=AB=2，设点E坐标为（2，m），则点D坐标为（4，m）或（0，m），∵点D在抛物线上，将x=0和x=4分别代入中，解得m均为3，故点D的坐标为（4，3）或（0，3）．

综合①②得点D的坐标可以为：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．

考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．分类讨论；4．压轴题．