Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；

（2）请证明：E是OB的中点；

（3）若AB=8，求CD的长．

Answer

（1）CG是⊙O的切线；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．

（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；

（3）Rt△OCE中，由三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的长．

试题解析：（1）CG是⊙O的切线．理由如下：

∵CG∥AD，∵CF⊥AD，∴OC⊥CG，∴CG是⊙O的切线；

（2）连接AC，如图，∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，∴，，∴AC=AD=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠D=60°，∴∠FCD=30°，在Rt△COE中，∴OE=OB，∴点E为OB的中点．

（3）∵AB=8，∴OC=AB=4．又∵BE=OE，∴OE=2，∴CE=OE×cot30°=．∵AB⊥CD，∴CD=2CE=．

考点：1．切线的判定；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．几何综合题．