Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．

（1）求点A，C的坐标；

（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；

（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） A（-6，0），C（6，0）；（2） 16．（3） （0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4-2）．

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，求出两根即可得到点A，C的坐标；

（2）过点B作BE⊥AC，垂足为E，由∠BAC=45°可知AE=BE，设BE=x，用勾股定理可得CE=，根据AE+CE=OA+OC，解方程求出BE，再由AE-OA=OE，即可求出点B的坐标，然后求出k的值；

（3）分类讨论，根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标．

试题解析：（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，解得：x1=x2=6，

∴OA=OC=6，

∴A（-6，0），C（6，0）；

（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，

设BE=x，

∵BC=4，

∴CE=，

∵AE+CE=OA+OC，

∴x+=12，

整理得：x2-12x+32=0，

解得：x1=4（不合题意舍去），x2=8

∴BE=8，OE=8-6=2，

∴B（2，8），

把B（2，8）代入y=，得k=16．

（3）存在．

如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，

则，

即

解得：OP=2或OP=6

∴P（0，2）或P（0，6）；

如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，

则，

即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，

则，

即，

解得：OP=4+2或OP=4-2（不合题意舍去），

∴P（0，4+2）；

如图，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，

则，即，解得：OP=-4+2或-4-2（不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2）

∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4-2）．

考点：相似形综合题．