Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．

Answer

（1）DE与⊙O相切．理由见解析；（2）5.

【解析】

试题分析：（1）连接DO，BD，如图，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，则∠ADO=∠EDB，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线；

（2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根据等腰三角形的判定方法得△ABC为等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定义可计算出BD=6，再根据勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．

试题解析：（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连接DO，BD，如图，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，

而BD⊥AC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，

∵tanA=，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半径为5．

考点：切线的判定．