Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P从点A出发，以3cm／s的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以2cm／s的速度沿线段DC向点C运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P，Q停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）、求CD的长．

（2）、当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长．

（3）、当点P在折线BCD上运动时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为16cm²？若存在，请求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）、16cm；（2）、（8＋8）cm；（3）、或6或

【解析】

试题分析：（1）、、过点A作AM∥BC交DC于M，根据平行四边形的性质得出MC＝AB＝10cm，AM＝BC＝8cm；根据Rt△ADM的勾股定理求出DM的长度，然后得出答案；（2）、当四边形PBQD为平行四边形时，PB∥DQ且PB＝DQ，根据题意得出PB＝（10－3t）cm，DQ＝2tcm，从而求出t的值，然后得出四边形的周长；（3）、分三种情况进行求解，①若点P在线段BC上，则＜t≤6；②若点P在线段CD上，且点P在点Q的右侧，则6≤t＜；③若点P在线段CD上，且点P在点Q的左侧，则＜t≤8，根据三角形的面积列出方程，求出t的值.

试题解析：（1）、过点A作AM∥BC交DC于M（如图）

∵AB∥CD，

∴四边形ABCM是平行四边形．

∴MC＝AB＝10cm，AM＝BC＝8cm．

∵∠BCD＝90°，∴∠AMD＝90°．

∵AD＝10cm，

∴DM＝＝＝6（cm）．

∴CD＝DM＋MC＝10cm＋6cm＝16cm．

（2）、当四边形PBQD为平行四边形时，PB∥DQ且PB＝DQ． ∵点Q在DC上，∴点P在AB上（如图）．

∴0＜t＜．

由题意得PB＝（10－3t）cm，DQ＝2t（cm），

∴10－3t＝2t．解得t＝2（符合题意）．

此时DQ＝4 cm，

∴QC＝12 cm．

∴BQ＝＝＝4（cm）．

∴四边形PBQD的周长＝2（BQ＋DQ）＝（8＋8）cm．

（3）、分以下三种情况讨论：

①若点P在线段BC上（如图），则＜t≤6．

此时BP＝3t－10，CQ＝16－2t，

由S△BPQ＝BP•CQ＝（3t－10）（16－2t）＝16，

得3t2－34t＋96＝0．

∵△＝（－34）2－4×3×96＝4，

∴t＝＝．

∴t＝6或（符合题意）．

②若点P在线段CD上，且点P在点Q的右侧（如图），则6≤t＜．

此时QP＝34－5t．

由S△BPQ＝QP•BC＝（34－5t）×8＝16，

解得t＝6（符合题意）．

③若点P在线段CD上，且点P在点Q的左侧（如图），则＜t≤8．

此时PQ＝5t－34．

由S△BPQ＝PQ•BC＝（5t－34）×8＝16，

解得t＝（符合题意）．

综上，存在符合题意的时刻，即t的值为，或6，或．

考点：（1）、勾股定理；（2）、平行四边形的性质；（3）、分类讨论思想.