Question

如图，抛物线y＝ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积为3时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）、y＝-x2+x+4；（2）、Q（1,0）；（3）、P（1＋，2 ）或P（1－，2 ）或P（1＋，3）或P（1－，3）.

【解析】

试题分析：（1）、首先将A、C两点代入求出函数解析式；（2）、首先根据函数解析式得出点B的坐标，求出AB和BQ的长度，根据QE∥AC得出△BQE和△BAC相似得出EG的长度，然后根据三角形的面积得出点m的值，即得到点Q的坐标；（3）、根据DO=DF，FO=FD，OD=OF三种情况分别进行计算，得出点P的坐标.

试题解析：（1）由题意，得 ，解得， ∴所求抛物线的解析式为y＝-x2+x+4

（2）如图，设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，由-x2+x+4＝0，

得x1=-2，x2=4,∴点B的坐标为（-2，0） ，∴AB=6，BQ= m +2

∵QE∥AC， ∴△BQE∽△BAC ，∴= 即=，∴EG=

∴ S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG =（m+2）（4－） =-m2+m+=3,

∴ m2－2m－8＝-9, ∴m=1 ∴Q（1，0）

（3）存在

在△ODF中，

①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DF=2,又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC= 45°

∴∠DFA=∠OAC= 45°∴∠ADF=90°此时，点F的坐标为（2，2）

由，得x1=1＋，x2=1－

此时，点P的坐标为：P（1＋，2 ）或P（1－，2 ）

②如图，

若FO=FD，过点F作FM⊥ 轴于点M，由等腰三角形的性质得：OM＝OD＝1,∴AM=3

∴在等腰直角三角形△AMF中，MF=AM=3 ∴F（1，3）

由-x2+x+4＝3，得x1=1＋，x2=1－

此时，点P的坐标为：P（1＋，3）或P（1－，3）

③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC= 4

∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2

此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形.

综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为：

P（1＋，2 ）或P（1－，2 ）或P（1＋，3）或P（1－，3）

考点：（1）、二次函数的综合应用；（2）、三角形相似；（3）、三角形的性质.