Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC=AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、证明过程见解析；（3）、8.

【解析】

试题分析：（1）、根据OA=OC得出∠A=∠ACO，根据∠COB=2∠A，，∠COB=2∠PCB，则∠A=∠ACO=∠PCB，根据AB为直径得出∠ACO+∠OCB=90°，则∠∠PCB+∠OCB=90°，得出切线；（2）、根据AC=PC得出∠A=∠P，则∠A=∠ACO=∠PCB=∠P，根据∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB得出∠COB=∠CBO，然后得出答案；（3）、连接AM、BM，根据M是弧的中点得出∠ACM=∠BCM，根据∠ACM=∠ABM得到∠BCM=∠ABM，从而得出△MBN∽△MCB，根据相似比得出BM2=MN·MC；根据等腰直角△ABM中AB的长度得出AM和BM的长度，然后计算.

试题解析：（1）、如图∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∴∠PCO=90°，即OC⊥CP， 而OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；.

（2）、∵AC=PC，∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P， 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，∴BC=AB；

（3）、连接MA，MB，∵点M是弧AB的中点， ∴，∴∠ACM=∠BCM，∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，

又∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴＝， ∴BM2=MN·MC，

又∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB=90°，AM=BM，

∴AB=4，∴BM=2，∴MN·MC=BM2=（2）2=8

考点：圆的基本性质.