Question

问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足        关系时，仍有EF=BE+FD．

【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41， =1.73）

Answer

【发现证明】证明见解析；【类比引申】∠BAD=2∠EAF．【探究应用】长约为109米．

【解析】

试题分析：【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．

【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；

【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．

试题解析：【发现证明】如图（1），

∵△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF=EF．

又∵DG=BE，

∴GF=BE+DF，

∴BE+DF=EF．

【类比引申】∠BAD=2∠EAF．

理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF．

【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．

∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，

∴∠BAE=60°．

又∵∠B=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=80米．

根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，

又∵∠ADF=120°，

∴∠GDF=180°，即点G在 CD的延长线上．

易得，△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵AH=80×=40，HF=HD+DF=40+40（-1）=40

故∠HAF=45°，

∴∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°=15°

从而∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75°

又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF

∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（-1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．

考点：四边形综合题．