Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．
（1）求证：BD=2CD；
（2）若AM=AC，其他条件不变，猜想BD与CD的倍数关系，并证明你的结论．

Answer

作CG⊥AC交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG得到AM=CG，△EBD∽△GCD，因而求的值的问题可以转化为求，根据相似三角形的性质就可求解．
【解析】
①作CG⊥AD交AD的延长线于G，证△ABE≌△CAG．
∴AE=CG，易证△ABM∽△EBA，则EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．

②作CG⊥AD交AD的延长线于G，易证△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，设等腰直角三角形ABC的边AB=AC=2a，则AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根据勾股定理得到BM=a，AE=CG==a，
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴==，则EM=•CG=•a，
∴BE=BM-EM=a-•a=，
∴==．