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如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分...

如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ.

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(1)当t=2时,可分别计算出BP、BQ的长,再对△BPQ的形状进行判断; (2)∠B为60°特殊角,过Q作QE⊥AB,垂足为E,则BQ、BP、高EQ的长可用t表示,S与t的函数关系式也可求; (3)由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形,进而得出四边形EPRQ是矩形,由△APR∽△PRQ,可得出∠QPR=60°,利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值. 【解析】 (1)△BPQ是等边三角形 当t=2时 AP=2×1=2,BQ=2×2=4 ∴BP=AB-AP=6-2=4 ∴BQ=BP 又∵∠B=60° ∴△BPQ是等边三角形; (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E 由QB=2t,得QE=2t•sin60°=t 由AP=t,得PB=6-t ∴S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=-t ∴S=-t; (3)∵QR∥BA ∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60° ∴△QRC是等边三角形 ∴QR=RC=QC=6-2t ∵BE=BQ•cos60°=×2t=t ∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t ∴EP∥QR,EP=QR ∴四边形EPRQ是平行四边形 ∴PR=EQ=t 又∵∠PEQ=90°, ∴∠APR=∠PRQ=90° ∵△APR∽△PRQ, ∴∠QPR=∠A=60° ∴tan60°= 即 解得t= ∴当t=时,△APR∽△PRQ.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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