Question

如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，DB分别交AN、CM于点P、Q．下列结论：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ；（4）S_△ADP=S_{平行四边形ABCD}．其中正确结论的个数为（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，易证△ADN≌△CBM，AN∥CM，根据M是AB的中点，因而BQ=PQ，同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB；同理易证△APD≌△CBQ，则AP=CQ；根据AB∥CD，△BMQ∽△DCQ，==2，CQ=2MQ；根据DP=PQ=QB，AN∥CM得到△ADP与平行四边形ABCD中AD边上的高的比是1：3，因而S△ADP=S平行四边形ABCD．
【解析】
平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，
∴DN=MB，∠MBC=∠NDA，AD=BC，
∴△ADN≌△CBM，
∴∠DNA=CMB，
∵AB∥CD，
∴∠DNA=∠NAM，
∴∠NAM=∠CMB，
∴AN∥CM，
∵M是AB的中点，
∴BQ=PQ，
同理DP=PQ，因而DP=PQ=QB，
同理易证△APD≌△CBQ，则AP=CQ，
∵AB∥CD，
∴△BMQ∽△DCQ，
∴==2，
∴CQ=2MQ，
∵DP=PQ=QB，
∴AN∥CM得到△ADP与平行四边形ABCD中AD边上的高的比是1：3，
∴S△ADP=S平行四边形ABCD，
∴正确结论的个数为：（1）DP=PQ=QB；（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ．
故选B．