如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,CC′的延长线交BB′于点F.
(1)证明:△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=α,∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
考点分析:
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学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”.类似地你可以得到:“满足______,或______,两个直角三角形相似”.
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足______的两个直角三角形相似”.
请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程.
已知:如图,______.
试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
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已知:正方形ABCD中,E、F分别是边CD、DA上的点,且CE=DF,AE与BF交于点M.
(1)求证:△ABF≌△DAE;
(2)找出图中与△ABM相似的所有三角形(不添加任何辅助线).
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如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC,△A
1B
1C
1.
﹙1﹚将△ABC,△A
1B
1C
1如图②摆放,使点A
1与B重合,点B
1在AC边的延长线上,连接CC
1交BB
1于点E.求证:∠B
1C
1C=∠B
1BC.
﹙2﹚若将△ABC,△A
1B
1C
1如图③摆放,使点B
1与B重合,点A
1在AC边的延长线上,连接CC
1交A
1B于点F,试判断∠A
1C
1C与∠A
1BC是否相等,并说明理由.
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A
1FC相似的三角形.
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如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S
1,S
2,S
3表示,则不难证明S
1=S
2+S
3.
(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S
1,S
2,S
3表示,那么S
1,S
2,S
3之间有什么关系;(不必证明)
(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S
1、S
2、S
3表示,请你确定S
1,S
2,S
3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S
1,S
2,S
3表示,为使S
1,S
2,S
3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;
(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.
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如图,已知△ABC∽△A
1B
1C
1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A
1B
1C
1的三边长分别为a
1、b
1、c
1.
(1)若c=a
1,求证:a=kc;
(2)若c=a
1,试给出符合条件的一对△ABC和△A
1B
1C
1,使得a、b、c和a
1、b
1、c
1都是正整数,并加以说明;
(3)若b=a
1,c=b
1,是否存在△ABC和△A
1B
1C
1使得k=2?请说明理由.
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