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如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB...

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q.
(1)当点P在线段AB上运动(不与A,B重合)时,求证:OA•BQ=AP•BP;
(2)在(1)成立的条件下,设点P的横坐标为m,线段CQ的长度为l,求出l关于m的函数解析式,并判断l是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由;
(3)直线AB上是否存在点P,使△POQ为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ,再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA•BQ=AP•BP; (2)由第一问可求得BQ的值,从而求得l=3-, 所以可得到当m=2时,l有最小值; (3)因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ,根据等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值,从而就可确定点P的坐标. (1)证明:∵PO⊥PQ, ∴∠APO+∠BPQ=90°, 在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90°, ∴∠BPQ=∠AOP, ∴△OAP∽△PBQ,则, 即OA•BQ=AP•BP.(3分) (2)【解析】 ∵OA•BQ=AP•BP,即BQ=, ∴l=3- ∴当m=2时,l有最小值.(6分) (3)解法一: ∵△POQ是等腰三角形 ①若P在线段AB上,∠OPQ=90° ∴PO=PQ,又△OAP∽△PBQ, ∴△OAP≌△PBQ ∴PB=AO,即3=4-m, ∴m=1,即P点坐标(1,3);(8分) ②若P在线段AB的延长线上,PQ交CB的延长线于Q,PO=PQ, 又∵△AOP∽△BPQ, ∴△AOP≌△BPQ, ∴AO=PB,即3=m-4,即P点的坐标(7,3); ③当P在线段BA的延长线上时,显然不成立; 故存在P1(1,3),P2(7,3)使△POQ为等腰三角形;(10分) 解法二: ∵△POQ是等腰三角形 ∴PO=PQ, 即PA2+AO2=PB2+BQ2(7分) 则m2+32=(4-m)2+()2(8分) 整理得m4-8m3+16m2-72m+63=0 m4-8m3+7m2+9m2-72m+63=0 m2(m2-8m+7)+9(m2-8m+7)=0 (m-1)(m-7)(m2+9)=0 ∴m1=1,m2=7,m2=-9(舍去) 故存在P1(1,3),P2(7,3)使△POQ为等腰三角形.(10分)
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考点分析:
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已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B(2,0)和点C(0,8),且它的对称轴是直线x=-2.
(1)求抛物线与x轴的另一交点A的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,点B)不重合,过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值?若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

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在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=manfen5.com 满分网+1,点C的坐标为(-4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上.
(1)写出点M的坐标;
(2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.

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如图,抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点B作BD∥CA抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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已知抛物线manfen5.com 满分网上有不同的两点E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,抛物线manfen5.com 满分网与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式;
(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F?

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在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B点A在点B的左侧,与y轴的正半轴交于点C,顶点为E.
(1)若b=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标;
(2)将(1)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC,求此时直线BC的解析式;
(3)将(1)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC,且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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