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已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B(2,0)和点C(0,8),且它...

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B(2,0)和点C(0,8),且它的对称轴是直线x=-2.
(1)求抛物线与x轴的另一交点A的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,点B)不重合,过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值?若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

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(1)知道对称轴了和x轴上另一点,就能求出该点. (2)知道两点坐标和对称轴就能求出抛物线的解析式. (3)依题意,AE=m,则BE=8-m,由题意可知△BEF∽△BAC,求出EF,过点F作FG⊥AB,垂是为G,则sin∠FEG=sin∠CAB,进而求出FG,由S=S△BCE-S△BFE,进而求得S与m之间的函数关系式. (4)由S与m之间的函数关系式,求得S的最大值,算出点E坐标,判断三角形的形状. 【解析】 (1)∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2, ∴由对称性可得A点的坐标为(-6,0); (2)∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上 ∴c=8. 将A(-6,0),B(2,0)代入表达式得 , 解得. 故所求解析式为y=-x2-x+8. (3)依题意,AE=m,则BE=8-m, ∵OA=6,OC=8, ∴AC=10, ∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC, ∴,即EF=, 过点F作FG⊥AB,垂是为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=, ∴=, ∴FG=×=8-m, ∴S=S△BCE-S△BFE. =(8-m)×8-(8-m)(8-m), =-m2+4m, (4)存在.理由如下: ∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8且-<0, ∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8, ∵m=4, ∴点E的坐标为(-2,0), ∴△BCE为等腰三角形.
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考点分析:
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②当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.

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(1)求抛物线的解析式;
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(3)将(1)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC,且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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