满分5 > 初中数学试题 >

在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边...

在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;
(3)若F在直角边BC上(点F与B、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.

manfen5.com 满分网
(1)先根据勾股定理求出AB的长,再根据Rt△ADC∽Rt△ACB,利用其相似比即可求出AD的长; (2)①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式; ②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可. (3)先求得△ABC的面积的,进而得到△AEF得到面积的函数关系式,让它等于3列式即可求解. 【解析】 (1)∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB==5, ∵CD⊥AB, ∴∠CDA=∠ACB, 又∠CAD=∠CAD, ∴Rt△ADC∽Rt△ACB, ∴=,即=,AD=. (2)①由于E的位置不能确定,故应分两种情况讨论: 如图A:当0<x≤AD,即0<x≤时, ∵EF⊥AB, ∴Rt△AEF∽Rt△ACB,即=, ∵AC=3,BC=4,AE=x, ∴=,EF=x, S△AEF=y=AE•EF=x•x=x2. 如图B:当AD<x≤AB,即<x≤5时, ∵EF⊥AB, ∴Rt△BEF∽Rt△BCA, ∴=, ∵AE=x,△AEF的面积为y,=, ∴EF=, y=×AE×EF=x•=-. ②当如图A:当0<x≤AD,即0<x≤时, S△AEF=y=AE•EF=x•x=x2,当x=AD,即x=时,y最大=×()2=. 如图B:当AD<x≤BD,即<x≤5时, y=x×(5-x)=-,y最大=,此时x=2.5<5,故成立. 故y最大=. (3)不存在. 根据题意可知:直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分, 即AC+CF+AE=FB+EB, 又∵CF+FB=BC, ∴3+x+4-FB=FB+5-x,即FB=x+1, ∵sinB==, ∴EF=FB•sinB=(x+1), 又∵直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分, ∴S△EFB=EB•FE=S△ABC=3, 即(5-x)•(x+1)=3, 化简得:x2-4x+5=0, ∵△=b2-4ac=16-20=-4<0, ∴此方程无解, 故不存在x,直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图所示,P是△ABC边AC上的动点,以P为顶点作矩形PDEF,顶点D,E在边BC上,顶点F在边AB上;△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a,h,且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根,设过D,E,F三点的⊙O的面积为S⊙O,矩形PDEF的面积为S矩形PDEF
(1)求证:以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4;
(2)求manfen5.com 满分网的最小值;
(3)当manfen5.com 满分网的值最小时,过点A作BC的平行线交直线BP与Q,这时线段AQ的长与m,n,k的取值是否有关?请说明理由.
manfen5.com 满分网
查看答案
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm.动点P、Q分别从A、C两点同时出发,其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动;点Q以manfen5.com 满分网cm/s的速度沿CB向终点B移动.过P作PE∥CB交AD于点E,设动点的运动时间为x秒.
(1)用含x的代数式表示EP;
(2)当Q在线段CD上运动几秒时,四边形PEDQ是平行四边形;
(3)当Q在线段BD(不包括点B、点D)上运动时,求四边形EPDQ面积的最大值.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,直角△ABC中,∠C=90°,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,点P为边BC上一动点,PD∥AB,PD交AC于点D,连接AP.
(1)求AC、BC的长;
(2)设PC的长为x,△ADP的面积为y.当x为何值时,y最大,并求出最大值.

manfen5.com 满分网 查看答案
已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=manfen5.com 满分网(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+manfen5.com 满分网
(1)当n=1时,求点A的坐标;
(2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠manfen5.com 满分网,求OP2的最小值.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,已知反比例函数manfen5.com 满分网的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、B两点,A(2,n),B(-1,-2).
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)在直线AB上是否存在一点P,使△APO∽△AOB?若存在,求P点坐标;若不存在,请说明理由.

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.