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已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=(k>0)上的点,过点P作直...

已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=manfen5.com 满分网(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+manfen5.com 满分网
(1)当n=1时,求点A的坐标;
(2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠manfen5.com 满分网,求OP2的最小值.

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(1)根据三角形的面积公式得到s=a•n.而s=1+,把n=1代入就可以得到a的值. (2)易证△OPA是等腰直角三角形,得到m=n=,根据三角形的面积S=•an,就可以解得k的值. (3)易证△OPQ∽△OAP,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,就可以得到关于k,n的方程,从而求出k,n的值.得到OP的值. 【解析】 过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m, (1)当n=1时,s=,(1分) ∴a==.(3分) (2)解法一:∵OP=AP,PA⊥OP, ∴△OPA是等腰直角三角形.(4分) ∴m=n=.(5分) ∴1+=•an. 即n4-4n2+4=0,(6分) ∴k2-4k+4=0, ∴k=2.(7分) 解法二:∵OP=AP,PA⊥OP, ∴△OPA是等腰直角三角形.(4分) ∴m=n.(5分) 设△OPQ的面积为s1 则:s1=∴•mn=(1+), 即:n4-4n2+4=0,(6分) ∴k2-4k+4=0, ∴k=2.(7分) (3)解法一:∵PA⊥OP,PQ⊥OA, ∴△OPQ∽△OAP. 设:△OPQ的面积为s1,则=(8分) 即:=化简得: 2n4+2k2-kn4-4k=0(9分) (k-2)(2k-n4)=0, ∴k=2或k=(舍去),(10分) ∴当n是小于20的整数时,k=2. ∵OP2=n2+m2=n2+又m>0,k=2, ∴n是大于0且小于20的整数. 当n=1时,OP2=5, 当n=2时,OP2=5, 当n=3时,OP2=32+=9+=,(11分) 当n是大于3且小于20的整数时, 即当n=4、5、6…19时,OP2的值分别是: 42+、52+、62+…192+, ∵192+>182+>32+>5,(12分) ∴OP2的最小值是5.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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