满分5 > 初中数学试题 >

如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax...

如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax2+bx(a<O)的顶点C在直线AB上,以C为圆心,CA的长为半径作⊙C.
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式;
(2)将⊙C沿x轴翻折后,得到⊙C′,求证:直线AC是⊙C′的切线;
(3)若M点是⊙C的优弧manfen5.com 满分网(不与0、A重合)上的一个动点,P是抛物线上的点,且∠POA=∠AM0,求满足条件的P点的坐标.

manfen5.com 满分网
(1)根据抛物线过A(-8,0),B(0,0)两点可求出其对称轴方程,得C点的横坐标,再根据C点在直线y=x+8上,可求出C点的坐标,即抛物线的顶点坐标.用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)连接CC′、C′A,C、C′关于x轴对称,根据对称的性质可知x轴是线段CC′的垂直平分线,故△ACC'是等腰三角形,因为点C(-4,4),所以∠CAO=45°,根据等腰三角形的性质可知∠CAC′=2∠CAO=90°,AC过⊙C′的半径C′A的外端点A,根据切线的定义可知直线AC是⊙C,的切线; (3)根据C点坐标可知∠ABO=45°,由圆周角可得∠AMO=∠ABO=45°, 设P(x,y)当||=1,即y=x或y=-x时∠POA=45°,故应分y=x,y=-x时两种情况分别代入原函数解析式求出P点坐标. 【解析】 (1)如图,由直线y=x+8图象上点的坐标特征可知,A(-8,0),B(0,8) ∵抛物线过A、O两点 ∴抛物线的对称点为x=-4 又∵抛物线的对称点在直线AB上, ∴当x=-4时,y=4 ∴抛物线的顶点C(-4,4) , 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x; (2)连接CC′、C′A ∵C、C′关于x轴对称,设CC′交x轴于D,则CD⊥x轴,且CD=4,AD=4 △ACD为等腰直角三角形 ∴△AC′D也为等腰直角三角形 ∴∠CAC′=90° ∵AC过⊙C′的半径C′A的外端点A ∴AC是⊙C′的切线; (3)∵M点是⊙O的优弧上的一点, ∴∠AMO=∠ABO=45°, ∴∠POA=∠AMO=45° 当P点在x轴上方的抛物线上时, 设P(x,y),则y=-x, 又∵y=-x2-2x ∴ 解得 此时P点坐标为(-4,4)当P点在x轴下方的抛物线时,设P(x,y) 则y=x,又∵y=--2x ∴ 解得 此时P点的坐标为(-12,-12) 综上所述,满足条件的P点坐标为(-4,4)或(-12,-12)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示.已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1).
(1)求点B的坐标.
(2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式.
(3)设点B关于抛物线的对称轴ℓ的对称点为Bl,连接AB1,求tan∠AB1B的值.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),它的顶点为M,又正比例函数y=kx的图象于二次函数相交于两点D、E,且P是线段DE的中点.
(1)求该二次函数的解析式,并求函数顶点M的坐标;
(2)已知点E(2,3),且二次函数的函数值大于正比例函数时,试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围;
(3)0<k<2时,求四边形PCMB的面积s的最小值.
【参考公式:已知两点D(x1,y1),E(x2,y2),则线段DE的中点坐标为manfen5.com 满分网

manfen5.com 满分网 查看答案
如图1,P1、P2、P3、…、Pn分别是抛物线y=x2与直线y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交点,连接P1P2、P2P3,…,Pk-1Pk
(1)求△OP1P2的面积,并直接写出△OP2P3的面积;
(2)如图2,猜想△OPk-1Pk的面积,并说明理由;
(3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2,其它条件不变,猜想△OPk-1Pk的面积(直接写出答案).
manfen5.com 满分网
查看答案
已知抛物线M:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m>0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线N与抛物线M关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
问抛物线M上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.
说明:
(1)如果你反复探索,没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写3步);
(2)在你完成(1)之后,可以从①、②中选取一个条件,完成解答(选取①得7分;选取②得10分).
①n=1;②n=2.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-manfen5.com 满分网x2+bx+c经过A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三点,且x2-x1=5.
(1)求b、c的值;
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形;若不存在,请说明理由.

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.