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已知抛物线M:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m>0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线N与抛物线M关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
问抛物线M上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.
说明:
(1)如果你反复探索,没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写3步);
(2)在你完成(1)之后,可以从①、②中选取一个条件,完成解答(选取①得7分;选取②得10分).
①n=1;②n=2.

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可假设存在这样的P点,根据四边形ABCP是菱形,可得出AB=BC=AP,根据抛物线的对称性可得出AC=AP,因此AC=AP=PC,三角形ACP为等边三角形,可根据抛物线M的坐标求出A、C的坐标,如果连接CP,过A作x轴的垂线,垂足为D,交CP于E;那么根据C、A的坐标,即可求出CE、AE的长,然后根据∠ACE=60°,用三角函数即可得出关于m的方程,进而可求出m的值. 【解析】 假设抛物线M上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,连接CP,作AD⊥x轴于D,交CP于E, 则AD为抛物线M的对称轴,且PC=AB=BC=AP ∵由抛物线的对称性可得AC=AP, ∴AP=PC=AC. 从而△APC为等边三角形 ∴∠ACE=60° ∵由抛物线M配方得,y=-x2+2mx+n=-(x-m)2+m2+n 点A、C的坐标分别为A(m,m2+n)、C(0,n), ∴AE=m2+n-n=m2,CE=m. 在Rt△ACE中,tan60°== ∴|m|= ∵m>0 ∴m= ∴抛物线M上存在点P,使得四边形ABCP为菱形,此时m=.
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考点分析:
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(1)求a值;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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