Question

如图1，P₁、P₂、P₃、…、P_n分别是抛物线y=x²与直线y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交点，连接P₁P₂、P₂P₃，…，P_k-1P_k．
（1）求△OP₁P₂的面积，并直接写出△OP₂P₃的面积；
（2）如图2，猜想△OP_k-1P_k的面积，并说明理由；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²，其它条件不变，猜想△OP_k-1P_k的面积（直接写出答案）．

Answer

（1）求三角形OP1P2的面积，要想利用P1、P2的坐标就必须通过构建三角形，根据其他三角形的面积的“和，差”关系来求出三角形OP1P2的面积．
过P2作x轴的垂线交y=x于M，然后过P1作P1N⊥P2M于N，那么三角形OP1P2的面积就是三角形OP2M和P1P2M的面积差，然后通过求P1、P2、M点的坐标，得出P2M的长以及以P2M为底边的三角形OP2M和P1P2M的高，进而可求出三角形OP1P2的面积．
求三角形PO2P3的面积时，方法同上．
（2）（3）方法同（1）．
【解析】
（1）∵P1是抛物线y=x2与直线y=x交点，
由x2=x，解得x1=1，x2=0（舍去）
代入，y=x，解得y=1
所以P1点坐标为（1，1）
同理，可求出P2点坐标为（2，4）
过P2作x轴的垂线交直线y=x于M，
过P1作P1Q⊥P2M于N
∵M在直线y=x上，
∴M点坐标为（2，2），
∴P2M=4-2=2
PN=2-1=1
∴S△OP1P2=S△OMP2-S△P1MP2=×2×2-×2×1=1．
△OP2P3的面积是3

（2）△OPk-1Pk的面积是k（k-1）
方法同（1），求得Pk点坐标为（k，k2），
Pk-1坐标为（k-1，k2-2k+1），
M坐标为（k，k2-k）
∴PKM=k2-k（k-1）=k
∴S△OPk-1Pk=×k×k-×k×1=k（k-1）

（3）△OPk-1Pk的面积是k（k-1）．