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如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于...

如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)已知PA=manfen5.com 满分网,BC=1,求⊙O的半径.

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(1)要证PB是⊙O的切线,只要连接OB,求证∠OBP=90°即可; (2)连接OP,交AB于点D,求半径时,可以证明△APO∽△DPA,还可证明△PAO∽△ABC,在Rt△OAP中利用勾股定理. (1)证明:连接OB, ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA, ∵PA=PB, ∴∠PAB=∠PBA, ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA, ∴∠PAO=∠PBO.(2分) 又∵PA是⊙O的切线, ∴∠PAO=90°, ∴∠PBO=90°, ∴OB⊥PB.(4分) 又∵OB是⊙O半径, ∴PB是⊙O的切线,(5分) 说明:还可连接OB、OP,利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB. (2)【解析】 连接OP,交AB于点D, ∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. ∵OA=OB, ∴点O在线段AB的垂直平分线上, ∴OP垂直平分线段AB,(7分) ∴∠PDA=90°. 又∵PA切⊙O于点A, ∴∠PAO=90°, ∴∠PAO=∠PDA, 又∵∠APO=∠DPA, ∴△APO∽△DPA, ∴, ∴AP2=PO•DP. 又∵OD=BC=, ∴PO(PO-OD)=AP2,即PO(PO-)=AP2,即:PO2-PO=, 解得PO=2,(9分) 在Rt△APO中,,即⊙O的半径为1.(10分) 说明:求半径时,还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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