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如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥B...

如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E,连接AD、BD.
(1)求证:∠ADB=∠E;
(2)当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由.
(3)当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径.
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(1)根据圆周角定理及平行线的性质不难求解; (2)要使DE是圆的切线,那么D就是求点,AD⊥DE,又根据AD过圆心O,BC∥ED,根据垂径定理可得出D应是弧BC的中点. (3)可通过构建直角三角形来求解,连接BO、AO,并延长AO交BC于点F,根据垂径定理BF=CF,AF=R+OF,那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF,OB,然后根据勾股定理求出半径的长. (1)证明:∵在△ABC中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C. ∵DE∥BC, ∴∠ABC=∠E, ∴∠E=∠C, 又∵∠ADB=∠C, ∴∠ADB=∠E; (2)【解析】 当点D是弧BC的中点时,DE是⊙O的切线. 理由是:∵当点D是弧BC的中点时,AB=AC, ∴AD是直径, ∴AD⊥BC, ∴AD过圆心O, 又∵DE∥BC, ∴AD⊥ED. ∴DE是⊙O的切线; (3)【解析】 过点A作AF⊥BC于F,连接BO, 则点F是BC的中点,BF=BC=3, 连接OF,则OF⊥BC(垂径定理), ∴A、O、F三点共线, ∵AB=5, ∴AF=4; 设⊙O的半径为r,在Rt△OBF中,OF=4-r,OB=r,BF=3, ∴r2=32+(4-r)2 解得r=, ∴⊙O的半径是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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