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如图,等边△ABC的边长为2,E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边...

如图,等边△ABC的边长为2,E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP.
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线)
(2)探究:当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,以点E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.

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(1)由平行易得△BFE是等边三角形,那么各边是相等的; (2)当点E是BC的中点时,△PEC为等边三角形,可得到PC=EC=BE=EF,也就得到了四边形EFPC是平行四边形,再有EF=EC可证为菱形; (3)根据各点到圆心的距离作答即可. 【解析】 (1)如图,∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠A=∠C=60°. 又∵EF∥AC, ∴∠BFE=∠A=60°,∠BEF=∠C=60°, ∴△BFE是等边三角形,PE=EB, ∴EF=BE=PE=BF; (2)当点E是BC的中点时,四边形是菱形; ∵E是BC的中点, ∴EC=BE, ∵PE=BE, ∴PE=EC, ∵∠C=60°, ∴△PEC是等边三角形, ∴PC=EC=PE, ∵EF=BE, ∴EF=PC, 又∵EF∥CP, ∴四边形EFPC是平行四边形, ∵EC=PC=EF, ∴平行四边形EFPC是菱形; (3)如图所示: 当点E是BC的中点时,EC=1,则NE=ECcos30°=, 当0<r<时,有两个交点; 当r=时,有四个交点; 当<r<1时,有六个交点; 当r=1时,有三个交点; 当r>1时,有0个交点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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