Question

已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于点K，
（1）求证：AE²=EB•EK；
（2）若A是弧Ek的中点，求证：EB=AB；
（3）若EG=2，GF=6，GB=，求BK的值．

Answer

（1）因为EF是直径，所以它所对的圆周角为直角，再利用垂直，利用三角形相似证明；
（2）根据圆周角的定理，相等的弧对应的圆周角相等可以证明出来；
（3）利用三角形的相似求解．
（1）证明：如图，连接AF、KF，
∵EF是直径，
∴∠EAF=∠EKF=90°
又AG⊥EF交EF于G，
所以∠BGE=∠EKF=90°，
所以△BEG∽△FEK，
则
所以BE•EK=EF•EG；
又AG⊥EF交EF于G，∠EAF=90°
所以△AEG∽△FEA，
则
即AE2=FE•EG
所以得出：AE2=EB•EK；

（2）证明：由（1）知，△AEG∽△FEA，
所以∠EAG=∠EFA
又A是弧Ek的中点，
根据圆周角性质可得：∠EFA=∠AEB
所以∠EAG=∠AEB
因此EB=AB；

（3）【解析】
由（1）知，△BEG∽△FEK，
所以
在直角三角形BEG中，BE===3
又FG=6，所以EF=EG+GF=2+6=8
所以
解得EK=
所以BK=EK-BE=-3=．