Question

在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．把直线y=-x-3沿y轴翻折后恰好经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在坐标轴上是否存在这样的点F，使得∠DFB=∠DCB？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过对称确定B点坐标，再求b，c．
（2）首先证明△DCB为直角三角形，得到∠DCB的正切值，由此得到通过∠DFB的正切值，由于F点可在B点的左侧或右侧，也可能在x轴或y轴，因此要分类讨论来确定F点的坐标．
【解析】
（1）如图，依题意，把直线y=-x-3沿y轴翻折后经过B、C两点，

∴点B坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3），
∴c=-3．
∴-9+3b-3=0．
解得b=4．
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3．

（2）在坐标轴上存在这样的点F，使得∠DFB=∠DCB．
抛物线y=-x2+4x-3的顶点D的坐标为（2，1）．
设对称轴与x轴的交点为点E，
在Rt△DEB中，DE=BE=1，
∴∠DBE=45°．
在Rt△OBC中，OB=OC=3，
∴∠OBC=45°．
∴∠DBC=90°．
在Rt△DBC中，，
∴．
∵DE⊥x轴，DE=1，
∴在x轴上存在EF1=3，EF2=3．
∴符合题意的点的坐标为F1（-1，0）或F2（5，0）
过点D作DF3⊥y轴于F3，
∴点F3的坐标为（0，1）．
∵在Rt△F3BO中，，
又∵DF3∥x轴，
∴∠DF3B=∠F3BO．
∴点F3（0，1）也是符合题意的点
综上，符合题意的点F的坐标为（-1，0）、F2（5，0）或（0，1）．