Question

如图所示，在矩形ABCD中，E为BC上一动点，BE=kCE，ED交AC于点P，DQ⊥AC于Q，AB=nBC
（1）当n=1，k=2时（如图1），=______；
（2）当n=，k=1时（如图2），求证：CP=AQ；
（3）若k=1，当n=______

Answer

（1）根据题意可以得出Q为正方形的中点，AQ=CQ，结合△ADP∽△CEP，得出CP和AP的关系，即可得出结论．
（2）同（1）得出CP和AP的关系，设BC=1，则AB=，进而得出AC的长，由条件可以证得△ADQ∽△CAB，即得出AD、CA、AQ、BC之间的关系式，求出AQ的值，即可证得．
（3）把结论当做已知条件，可得△CPE∽△CBA，求得CE、CP、CA、CB之间的关系式，设BC=1，则可以表示出AB、AC、PC的值，代入关系式求解即可．
【解析】
（1）∵矩形ABCD中，AB=AC，
∴AD=BC、AD∥BC，OA=OC，
∴∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CPE，
∴△ADP∽△CEP，
∴，
∵BE=kCE，k=2，
∴AD：CE=3：1，
∴AP：CP=3：1，
∴=1．

（2）证明：∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，n=，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP，
∴，
设BC=1，则AB=，根据勾股定理得AC=，PC=
∵DAQ=∠BCA、∠AQD=∠B=90°，
∴△ADQ∽△CAB，
∴，
∴AQ=，
∴CP=AQ．

（3）∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，
∴，
设BC=1，则AB=n，AC=，
∴PC=，
∵CP⊥DE，
∴∠CPE=∠CBA，
∵∠ECP=∠ACB，
∴△CPE∽△CBA，
∴，
∴，
∴n=．