Question

已知：B，C是线段AD上的两点，且AB=CD．分别为AB，BC，CD，AD为直径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形．此图的对称轴分别交其中两个半圆于M，N交AD于O．若AD=16，AB=2r（0＜r＜4），回答下列问题：
（1）用含r的代数式表示BC=______，MN=______；
（2）设以MN为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为S_阴影，请通过计算填写下表：

r	S	S阴影
r=1		49π
r=2	36π
r=3		25π

（3）由此表猜想S与S_阴影的大小关系，并证明你的猜想．

Answer

（1）根据线段的和差关系可知：BC=16-4r，即OC=BC=8-2r=ON，OM=AB+OB=2r+8-2r=8，所以MN=ON+OM=8-2r+8=16-2r．
（2）根据圆的面积公式进行计算，可得出S=S阴影，依此填写表格．
（3）利用面积公式证明．
【解析】
（1）16-4r，16-2r．（2分）

（2）如图所示：
r S S阴影
r=1 49π 49π
r=2 36π 36π
r=3 25π 25π

（3）S=S阴影．
证明：∵S=π（）2=π（8-r）2=64π-16πr+πr2
S阴影=×82π-πr2+π（8-2r）2=64π-16πr+πr2，
∴S=S阴影．（8分）
说明：证明中S阴影，S求对一个可得（1）．结果写为π（8-r）2或其它形式不扣分．