Question

附加题：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，⊙A的半径为1，如图所示．若点O在BC上运动（与点B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y．
（1）求关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，求当⊙O与⊙A相外切时，△AOC的面积．

Answer

（1）作AD⊥BC．根据y=S△ABC-S△ABO，建立y与x的函数关系式；
（2）作AD⊥BC．根据两圆外切的定义，AO=2+x，应用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值，进而可得△AOC的面积．
【解析】
（1）作AD⊥BC．
∵∠BAC=90°，AB=AC=，
∴AD=2sin45°=2．
∴y=S△ABC-S△ABO=×2×2-×2x=4-x（0＜x＜4）；

（2）当⊙O与⊙A相外切时，
在等腰Rt△ABC中，AD=2，BD=2，则OD=2-x．
在Rt△AOD中，（x+1）2=22+（2-x）2，解得x=，
则△AOC的面积为OC•AD=×（OD+DC）×AD=×（2+2-）×2=．