Question

阅读并解答：
①方程x²-2x+1=0的根是x₁=x₂=1，则有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程2x²-x-2=0的根是x₁=，x₂=，则有x₁+x₂=，x₁x₂=-1．
③方程3x²+4x-7=0的根是x₁=-，x₂=1，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x₁，x₂，那么x₁，x₂与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；
（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：
已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer

（1）由①②③中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比．
（2）欲求k的值，先把代数式x12+x22变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求k值．
【解析】
（1）猜想为：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有，．
理由：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
那么由求根公式可知，，．
于是有，，
综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有，．

（2）x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两个实数根
∴x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，
又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2
∴[-（2k+1）]2-2×（k2-2）=11
整理得k2+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]2-4（k2-2 ）≥0，解得k≥-，
∴k=1．