Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，在四边形BDEC中，DB=DE，∠BDE=2α，M为CE的中点，连接AM，DM．
（1）在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形；
（2）求证：AM⊥DM；
（3）当α=______，AM=DM．

Answer

（1）延长DM到N，使MN=DM，连接CM即可；
（2）连接AD，AN，利用所给条件证明AD和AN所在的三角形全等，进而得到AD=AN，那么利用等腰三角形的三线合一性质得到所求；
（3）利用△ADM为等腰直角三角形作答即可．
【解析】
（1）所画图形如下所示：

（2）连接AD，AN．
∵DM=MN，CM=ME，
∴四边形DENC是平行四边形，
∴CN∥DE，CN=DE，
∴∠E=∠NCM，
∵DB=DE，
∴BD=CN，
∵∠CBD+∠BDE+∠E+∠BCE=360°，
∠ACB+∠BCE+∠NCE+∠ACN=360°，
∴∠CBD+∠BDE=∠ACB+∠ACN
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠BDE=2α，
∴∠CBD+2α=α+∠ACN，
∴∠CBD+α=∠ACN．
∵∠ABC=α，
∴∠ABD=∠ACN，
∴△ABD≌△ACN，
∴AD=AN，
∴AM⊥DM；

（3）△ADM为等腰直角三角形，
如果AM=DM，则∠ADM=45°，∠AMD=90°．
∵∠DAC+∠CAN=90°，∠CAN=∠BAD，
∴∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰RT△．
∴α=45°．