Question

如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，∠MAN=45°．
求证：MB+ND=MN．

Answer

根据正方形的性质利用SAS判定△AHB≌△AND，得到AH=AN，∠HAB=∠NAD，再利用SAS判定△AHM≌△ANM，得到HM=MN，因为HM=HB+BM=DN+BM，所以MB+ND=MN．
证明：延长MB至H，使BH=DN，连接AH，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABH=∠BAD=∠D=90°．
∵BH=DN，
∴△AHB≌△AND（SAS）．
∴AH=AN，∠HAB=∠NAD．
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=∠BAH+∠BAM=45°．
∴∠HAM=∠MAN．
∵AH=AN，AM=AM，
∴△AHM≌△ANM．
∴HM=MN．
∵HM=HB+BM=DN+BM，
∴MB+ND=MN．