Question

如图，AC⊥BC于点C，BC=a，CA=b，AB=c，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径等于    ．

Answer

设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；由勾股定理可得：BF=BE，AF=AD，CD=CE；可用DC分别表示出BE、BF的长，根据BF=BE，得出CD的表达式；连接OD、OE；易证得四边形ODCE是正方形，即OE=OD=CD，由此可求出⊙O的半径．
【解析】
设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四边形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD；
设CD=CE=x，则AD=AF=b-x；
连接OB，OF，
由勾股定理得：BF2=OB2-OF2，BE2=OB2-OE2，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
则BA+AF=BC+CE，c+b-x=a+x，即x=；
故⊙O的半径为．