Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O₁与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，已知A（-1，0），O₁（1，0）
（1）求出C点的坐标；
（2）过点C作CD∥AB交⊙O₁于D，若过点C的直线恰好平分四边形ABCD的面积，求出该直线的解析式；
（3）如图，已知M（1，），经过A、M两点有一动圆⊙O₂，过O₂作O₂E⊥O₁M于E，若经过点A有一条直线y=kx+b（k＞0）交⊙O₂于F，使AF=2O₂E，求出k、b的值．

Answer

（1）易得△O1AC为等边三角形，可求出OC的长．
（2）利用等腰梯形可化为一个矩形和两个直角三角形，只要平分矩形的面积即可，易找到平分线，用待定系数法求其解析式．
（3）从AF=2O2E找到突破口，过M点作直径和弦，通过坐标的特点证出∠FAO=60°，从而求出AF的解析式．
【解析】
（1）∵A（-1，0），O1（1，0），
∴OA=OO1又O1A=O1C，（1分）
∴易知△O1AC为等边三角形，（2分）
∴易求C点的坐标为（0，）．（4分）

（2）解法一：连接AD；
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴，
∴AC=BD又AC不平行BD，
∴四边形ABCD为等腰梯形，（5分）
过D作DH⊥AB于H；
∴△AOC≌△BDH，四边形COHD为矩形，（6分）
∴CH必平分四边形ABCD的面积，（7分）
易求CH的解析式：；（8分）
解法二：设直线CH平分四边形ABCD的面积，并设H（x，0），连接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴，
∴AC=BD=2，
∵S△ACH=S梯形CDBH，
∴，
∴x+1=5-x，
∴x=2，由C（0，）和H（2，0），
易求CH的解析式：．

（3）证法一：分别延长MO1，MO2交⊙O2于P，N，连接PN；
∴PN=2O2E，（9分）
连接MA，MF，AN；
∵A（-1，0），M（1，），
∴∠MAO1=60°，∠AMO1=30°，
∴∠NAO1=30°，
∵AF=2O2E=PN，
∴∠FMA=∠PMN，
∴∠PMN+∠PMF=∠FMA+∠PMF=∠AMO1=30°，
∴∠FMN=∠PMA=∠FAN=30°，（10分）
∴∠FAO1=60°，（11分）
∴易求AF的解析式为，
∴k=，b=．（12分）