Question

如图1，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点作OE⊥OF分别交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线AC于P．
（1）①求证：OE=OF；
②写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；
（2）如图2，当∠EOF绕O点逆时针旋转一个角度，使E、F分别在CD、BC的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）．

Answer

（1）①把OE、OF分别放到两个三角形中，证明三角形全等即可．
②找到中间跟三条线段有关系的线段OE、OP、OC，由线段之间的关系求解．
（2）画出图形，根据（1）中的求解方法求解，把两条线段放在两个三角形中证明三角形全等以及找到中间的线段求解．
【解析】
（1）①∵OE⊥OF，且正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，
∴∠BOF=∠EOC，OB=OC，∠OBF=∠DCE，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF．
②，
证明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分线EP交直线AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∵∠OPE是△CPE的外角，
∴∠OPE=∠PCE+∠CEP=45°+∠CEP，
∵∠OEF=45°，∠OEP=∠OEF+∠FEP=45°+∠FEP
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=OE=OP．
∵BC=OC=（OP+CP），
∴．

（2）①成立．
②不成立应为．
图形如图所示，
证明如下：∠OEP=45°-∠CEP，
又∵∠ECP=90°，
∴∠CQP=∠ECQ+∠CEP=90°+∠CEP．
∵∠QCP=∠BCO=45°，
∴∠P=180°-∠CQP-∠QCP=45°-∠CEP．
∴∠P=∠OEP．
∴OE=OP．
∴EF=OE=OP．
∵BC=OC=（OP-CP），
∴．