Question

已知抛物线m：y=ax²-2ax+a-1，顶点为A，将抛物线m绕着点（-1，0）旋转180°后得到抛物线n，顶点为C．
（1）当a=1时．试求抛物线n的顶点C的坐标，再求它的解析式；
（2）在（1）中，请你分别在抛物线m、n上各取一点B、D（除点A、C外），使得四边形ABCD成为平行四边形（直接写出所取点的坐标）；
（3）抛物线n与抛物线m的对称轴的交点为P，①若AP=6，试求a的值．②抛物线m与抛物线n的对称轴的交点为Q，若四边形APCQ能成为菱形，直接求出菱形的周长；若四边形APCQ不能成为菱形，说明理由．

Answer

（1）将a=1代入y=ax2-2ax+a-1，得到抛物线m的解析式为y=x2-2x，运用配方法得到其顶点A的坐标为（1，-1），根据中心对称的性质得出点A绕着点（-1，0）旋转180°后的对应点C的坐标为（-3，1），由此得出抛物线n的解析式为y=-（x+3）2+1，或y=-x2-6x-8；
（2）设B点坐标为（p，p2-2p），D（q，-q2-6q-8），根据平行四边形的性质得出平行四边形ABCD的对角线AC的中点与BD的中点重合，由中点坐标公式求出AC的中点坐标为（-1，0），则=-1，即q=-2-p，任意取一个p的值，可计算得出点B、D的坐标，例如取p=2，则q=-4，p2-2p=0，-q2-6q-8=0，即B（2，0），D（-4，0），答案不唯一；
（3）①设抛物线n的解析式为y=-a（x+3）2+1，将x=1代入，得到y=-16a+1，即点P（1，-16a+1），根据AP=6，列出方程|-1-（-16a+1）|=6，解方程即可；
②设抛物线m的解析式为y=a（x-1）2-1，将x=-3代入，得到y=16a-1，即点Q的坐标为（-3，16a-1）．由A、P、C、Q四点的坐标可知AP∥CQ且AP=CQ，则四边形APCQ是平行四边形．若四边形APCQ能成为菱形，则AP=CP，由此列出方程（-16a+2）2=（1+3）2+（-16a+1-1）2，解方程求出a=-，则AP=5，根据菱形的周长公式即可求解．
【解析】
（1）当a=1时，抛物线m的解析式为y=x2-2x=（x-1）2-1，
顶点A（1，-1），点A绕着点（-1，0）旋转180°后得到顶点C的坐标为（-3，1），
根据题意，可得抛物线n的解析式为y=-（x+3）2+1，或y=-x2-6x-8；

（2）如图，设B点坐标为（p，p2-2p），D（q，-q2-6q-8），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD互相平分，即AC的中点与BD的中点重合，
∵AC的中点坐标为（-1，0），
∴=-1，q=-2-p．
取p=2，则q=-4，p2-2p=0，-q2-6q-8=0，即B（2，0），D（-4，0）；
取p=0，则q=-2，p2-2p=0，-q2-6q-8=0，即B（0，0），D（-2，0）；
取p=3，则q=-5，p2-2p=3，-q2-6q-8=-3，即B（3，3），D（-5，-3）；
答案不唯一；

（3）①如图，设抛物线n的解析式为y=-a（x+3）2+1，
∵抛物线m的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=-16a+1，
∴点P的坐标为（1，-16a+1），
∵AP=6，A（1，-1），
∴|-1-（-16a+1）|=6，
∴16a-2=±6，
当16a-2=6时，a=；
当16a-2=-6时，a=-；

②如图，设抛物线m的解析式为y=a（x-1）2-1，
∵抛物线n的对称轴为直线x=-3，
∴当x=-3时，y=16a-1，
∴点Q的坐标为（-3，16a-1）．
又∵A（1，-1），C（-3，1），P（1，-16a+1），
∴AP∥CQ∥y轴，AP=CQ=-16a+2，
∴四边形APCQ是平行四边形．
若四边形APCQ能成为菱形，则AP=CP，
即（-16a+2）2=（1+3）2+（-16a+1-1）2，
整理，得16a=-3，解得a=-，
∴当a=-时，四边形APCQ能成为菱形，
∵AP=-16a+2=5，
∴菱形的周长为：4AP=20．