Question

矩形ABCD中AB=8，BC=6，∠ACB=53°；将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AD延长线上（图1）．
（1）求∠B′AC的度数与C′D的长度；
（2）如图2 将△AB′C′向右平移得△A′B′C′，两直角边与矩形相交于点E、F；在平移的过程中出现了△AA′E≌△DFC′；求此时平移的距离AA′．（设AA′=x）
（3）当平移的距离是多少时，能使△B′EF与原△ABC相似．

Answer

（1）根据矩形的性质得出BC=AD=6，BC∥AD，∠B=90°，求出∠BCA=∠CAD=53°，∠BAC=∠B′AC′=37°，即可求出答案；勾股定理求出AC=10=AC′，求出C′D即可；
（2）证△A′AE∽△A′B′C′求出AE=，根据△AA′E≌△DFC′，得出AE=C′D，得出方程10-6-x=x，求出方程的解即可；
（3）根据△A′AE∽△A′B′C′求出A′E=x，B′E=8-x，根据△C′DF∽△A′B′C′求出C′F=（4-x），B′F=6-（4-x），当满足B′E：B′F=6：8或B′E：B′F=8：6，两三角形相似，代入求出即可．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，BC∥AD，∠B=90°，
∴∠BCA=∠CAD=53°，∠BAC=∠B′AC′=90°-53°=37°，
∴∠B′AC=53°-37°=16°，
在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：AC=10=AC′，
∴C′D=10-6=4；

（2）∵∠A′=∠A′，∠C′B′A′=∠EAA′=90°，
∴△A′AE∽△A′B′C′，
∴=，
∴=，
∴AE=，
∵△AA′E≌△DFC′，
∴AE=C′D，
∴10-6-x=x，
x=，
即此时平移的距离AA′是；

（3）
∵△A′AE∽△A′B′C′，
∴=，
∴=，
∴A′E=x，
∴B′E=8-x，
同理由△C′DF∽△A′B′C′求出C′F=（4-x），
∴B′F=6-（4-x），
当满足B′E：B′F=6：8或B′E：B′F=8：6时，能使△B′EF与原△ABC相似
即（8-x）：[6-（4-x）]=6：8或（8-x）：[（6-（4-x）]=8：6，
解得：x=3.4或x=，
∴当平移的距离是3.4或x=时，能使△B′EF与原△ABC相似．