Question

如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．

（1）证明：AB•CD=PB•PD．
（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
（3）已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．

Answer

（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
（2）与（1）的证明思路相同；
（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标．
（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴AB•CD=PB•PD；

（2）AB•CD=PB•PD仍然成立．
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴AB•CD=PB•PD；

（3）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），
∴，
解得，
所以，y=x2-2x-3，
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点P的坐标为（1，-4），
过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，
则AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根据（2）的结论，AO•AC=OD•PC，
∴1×2=OD•4，
解得OD=，
∴点D的坐标为（0，），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，y=x+，
联立，
解得，（为点A坐标，舍去），
所以，点Q的坐标为（，）．